Question

（本小題滿分14分）
已知橢圓的離心率為，短軸一個端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求
面積的最大值.

Answer 1

(1)  (2)

試題分析：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，依題意
，所以所求橢圓方程為：.                       …………………4分
（2）設(shè)，
當(dāng)軸時，                                    …………………6分
當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為
由已知，得.                          …………………8分
把代入橢圓方程，整理得，
，


.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.
當(dāng)時，，綜上所述                   …………………12分
所以面積的最大值為           …………………14分
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是對于第一問的橢圓方程的準(zhǔn)確求解，同時能聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理表示出弦長，同時來得到三角形面積的最值的求解，屬于中檔題。