Question

橢圓C：=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F₁（﹣c，0），F(xiàn)₂（c，0），M是橢圓短軸的一個端點，且滿足=0，點N（ 0，3 ）到橢圓上的點的最遠距離為5
（1）求橢圓C的方程
（2）設斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B，Q為AB的中點，；問A、B兩點能否關于過點P、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由．

Answer 1

（1）所求橢圓方程為
（2）當k∈（﹣，0）∪（0，）時，A、B兩點關于過點P、Q的直線對稱

試題分析：（1）由M是橢圓短軸的一個端點，且滿足=0，可得△F₁F₂M是一個以M為直角的等腰直角三角形，結合點N（ 0，3 ）到橢圓上的點的最遠距離為5，求出a，b的值，可得橢圓的方程；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），將A，B兩點代入橢圓方程，利用點差法，可得x₀+2ky₀=0，根據(jù)對稱的性質(zhì)，可得y₀=﹣x₀﹣，再結合Q點在橢圓內(nèi)部，構造關于k的不等式，解不等式可得k的范圍．
（1）∵M是橢圓短軸的一個端點，且滿足=0，
即△F₁F₂M是一個以M為直角的等腰直角三角形
故橢圓方程可表示為：
設H（ x，y ）是橢圓上的一點，
則|NH|²=x²+（y﹣3）²=﹣（y+3）²+2b²+18，其中﹣b≤y≤b
若0＜b＜3，則當y=﹣b時，|NH|²有最大值b²+6b+9，
所以由b²+6b+9=50解得b=﹣3±5（均舍去）
若b≥3，則當y=﹣3時，|NH|²有最大值2b²+18，
所以由2b²+18=50解得b²=16
∴所求橢圓方程為
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），Q為AB的中點
∴x₀=，y₀=，
則由兩式相減得：x₀+2ky₀=0…①
又由直線PQ⊥l，
∴直線PQ的方程為y=﹣x﹣
將Q（x₀，y₀）坐標代入得：y₀=﹣x₀﹣…②
由①②得Q（﹣k，）
而Q點在橢圓內(nèi)部
∴，即k²＜
又∵k≠0
∴k∈（﹣，0）∪（0，）
故當k∈（﹣，0）∪（0，）時，A、B兩點關于過點P、Q的直線對稱
點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線，橢圓的標準方程，是高考的壓軸題型，運算量大，綜合性強，屬于難題