Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中直線A₁C₁與平面A₁BD夾角的余弦值是（　�。�

A． 2 4

B． 2 3

C． 3 3

D． 3 2

Answer 1

設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長(zhǎng)為a，構(gòu)造三棱錐C₁-A₁DB，其體積為：
∵V=V_正方體-4V _A-A1BD=a³-4×

1

6

a³=

1

3

a³，
設(shè)點(diǎn)C₁到平面A₁BD的距離是h，
又三棱錐C₁-A₁DB的體積=

1

3

×S_A1BD×h，
∴

1

3

a³=

1

3

×S_A1BD×h，
∴h=

2 3 a

3

，
設(shè)直線A₁C₁與平面A₁BD夾角為α，則sinα=

2 3 a 3

2 a

=

6

3

，
∴cosα=

1-( 6 3 )2

=

3

3

，
即直線A₁C₁與平面A₁BD夾角的余弦值是

3

3

．
故選C．