Question

(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
設，對于項數(shù)為的有窮數(shù)列，令為中最大值，稱數(shù)列為的“創(chuàng)新數(shù)列”．例如數(shù)列3，5，4，7的創(chuàng)新數(shù)列為3，5，5，7．
考查自然數(shù)的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數(shù)列．
（1）若，寫出創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，4的所有數(shù)列；
（2）是否存在數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，求出符合條件的創(chuàng)新數(shù)列；若不存在，請說明理由．
（3）是否存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出滿足所有條件的數(shù)列的個數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，創(chuàng)新數(shù)列為3，4，4，4的所有數(shù)列有兩個，即3，4，1，2和
3，4，2，1．              ……………（每寫出一個給2分，多寫不得分）4分
（2）存在數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為等比數(shù)列．……………………………………5分
設數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為，
因為為前個自然數(shù)中最大的一個，所以．   ……………………6分
若為等比數(shù)列，設公比為，因為，所以．…7分
當時，為常數(shù)列滿足條件，即為數(shù)列
（或寫通項公式）；    ……………………………………9分
當時，為增數(shù)列，符合條件的數(shù)列只能是，又不滿足等比數(shù)列．綜上符合條件的創(chuàng)新數(shù)列只有一個．              ……………………10分
（3）存在數(shù)列，使它的創(chuàng)新數(shù)列為等差數(shù)列，     ……………………11分
設數(shù)列的創(chuàng)新數(shù)列為，因為為前個自然數(shù)中最大的一個，所以．
若為等差數(shù)列，設公差為，
因為，所以．且  ……………………12分
當時，為常數(shù)列滿足條件，即為數(shù)列（或寫通項公式），
此時數(shù)列是首項為的任意一個排列，共有個數(shù)列；      ……………14分
當時，符合條件的數(shù)列只能是，此時數(shù)列是，有1個；                                                     ……………………15分
當時， 又
這與矛盾，所以此時不存在。    …………17分
綜上滿足條件的數(shù)列的個數(shù)為個（或回答個）．  …………18分

略