Question

【題目】如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在底面的投影是線段的中點(diǎn)，為側(cè)棱的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）先通過證明面，從而證得，再利用勾股定理證得，而，所以證得，再利用線面垂直判定定理證得面.

（2）利用向量法，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，從而分別求出平面與平面的法向量，利用公式求出二面角的余弦值，再通過同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出正弦值.

（1）連接，因?yàn)?/span>平面，所以

又為正三角形，，所以

而，所以平面，

所以

在中，，

所以，則為等腰直角三角形

因?yàn)?/span>為側(cè)棱的中點(diǎn)，所以，又，所以

而，所以平面

（2）如圖，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系

則，，，

由得

由（1）得為平面的一個(gè)法向量

設(shè)為平面的一個(gè)法向量

由得

取得

所以

故平面與平面夾角的正弦值為