Question

（本小題滿分16分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，和為等腰直角三角形，,設(shè)和的外接圓圓心分別為.

（Ⅰ）若圓M與直線相切，求直線的方程；
（Ⅱ）若直線截圓N所得弦長(zhǎng)為4，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅲ）是否存在這樣的圓N，使得圓N上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，若存在，求此時(shí)圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）圓心，所以圓的方程為，
直線的方程為.
圓與直線相切，圓心到直線的距離，
化簡(jiǎn)得：.
直線的方程為.  ·······························5分
（2）直線方程為：，圓心，
圓心到直線的距離為.
直線截圓的弦長(zhǎng)為4， （負(fù)值舍去）
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.····················10分
（3）存在。
由（2）知，圓心到直線的距離為（定值），且始終成立，
當(dāng)且僅當(dāng)圓半徑即時(shí)，
圓上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為.
此時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為························16分

略