Question

已知橢圓

x2

25

+

y2

9

=1，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)．設(shè)

PA

=λ₁

AF

，

PB

=λ₂

BF

，則λ₁+λ₂等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量條件，即可得到結(jié)論．

解答： 解：由題意a=5，b=3，c=4，所以F點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）
設(shè)直線l方程為：y=k（x-4），A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，y₂），得P點(diǎn)坐標(biāo)（0，-4k），
∵

PA

=λ₁

AF

，
∴（x₁，y₁+4k）=λ₁（4-x₁，-y₁），
∵

PB

=λ₂

BF

，
∴（x₂，y₂+4k）=λ₂（4-x₂，-y₂）．
λ1=

x1

4-x1

，λ2=

x2

4-x2

，
直線l方程，代入橢圓

x2

25

+

y2

9

=1消去y
可得（9+25k²）x²-200k²x+400k²-225=0．
x1+x2=

200k2

9+25k2

，x1•x2=

400k2-225

9+25k2

，
∴λ₁+λ₂=

x1

4-x1

+

x2

4-x2

=

4(x1+x2)-2x1•x2

16-4(x1+x2)+x1•x2

=

4• 200k2 9+25k2 -2• 400k2-225 9+25k2

16-4• 200k2 9+25k2 + 400k2-225 9+25k2

=-

50

9

故答案為-

50

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．