Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ex+e﹣x ， 其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）證明：f（x）是R上的偶函數(shù)；
（2）若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵f（x）=ex+e﹣x ，
∴f（﹣x）=e﹣x+ex=f（x），即函數(shù)：f（x）是R上的偶函數(shù)；
（2）解：若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，
即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，
∵x＞0，
∴ex+e﹣x﹣1＞0，
即m≤在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)t=ex ， （t＞1），則m≤在（1，+∞）上恒成立，
∵=﹣=﹣≥﹣，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)等號(hào)成立，
∴m≤﹣．
【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可證明f（x）是R上的偶函數(shù)；
（2）利用參數(shù)分離法，將不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求最值問題即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．