Question

【題目】數(shù)列滿足， .

（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的， ， 恒成立，求正數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（2）利用錯(cuò)位相減法即可求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，利用作差法可得數(shù)列{}單調(diào)遞增， ， 恒成立，只需即可.

試題解析：

解（1）證明：由已知可得＝，

即＝＋1，即－＝1.

∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．

（2）由(1)知＝＋(n－1)×1＝n＋1，

∴an＝.

所以bn＝，

Tn＝＋＋＋…＋，

Tn＝＋＋＋…＋.

兩式相減得

Tn＝＋2－，

Tn＝＋2×－，

Tn＝1＋4－＝3－，

由Tn－Tn－1＝3－－＝，

當(dāng)n≥2時(shí)，Tn－Tn－1>0，所以數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增．

最小為，

依題意上恒成立，

設(shè)

則

又解得