Question

【題目】設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)．

(1)若，求線段中點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)若直線AB的方向向量為，當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，求的面積；

(3)若M是拋物線C準(zhǔn)線上的點(diǎn)，求證：直線的斜率成等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】(1)；(2) (3)見解析

【解析】

試題

思路(1) 利用“代入法”。

(2) 聯(lián)立方程組得，，應(yīng)用弦長(zhǎng)公式求

，得到面積。

(3)直線的斜率都存在，分別設(shè)為．

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)直線AB：，代入拋物線得， 確定，

，得到．

解：(1) 設(shè)，，焦點(diǎn)，則由題意，即

所求的軌跡方程為，即

(2)，，直線，

由得，，

，。

(3)顯然直線的斜率都存在，分別設(shè)為．

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)直線AB：，代入拋物線得， 所以，

又，，

因而，

因而

而，故．