Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓C： (a>b>0)的離心率為，右焦點(diǎn)F到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離為3.

（1）求橢圓C的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)l (不與x 軸重合)和橢圓C交于M， N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn).

①若的面積為，求直線(xiàn)l方程；

②過(guò)點(diǎn)M作與)軸垂直的直線(xiàn)l"和直線(xiàn)NA交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在一條定直線(xiàn)上.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②見(jiàn)解析

【解析】

（1）由橢圓離心率的定義，右焦點(diǎn)與右準(zhǔn)線(xiàn)的距離求得橢圓方程；

（2）用設(shè)而不求的求直線(xiàn)方程，用三角形面積得直線(xiàn)方程，分類(lèi)討論可得．

解：

（1）由題意：解得：，所以橢圓的方程為

（2）①當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)，不合題意;

當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)方程為.

由，消去y得：.設(shè).

由題意，， 且

所以

因?yàn)?/span>， 的面積為

所以，即，解得，

所以直線(xiàn)的方程為.

②當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)NA的方程為：.令，得，

所以直線(xiàn)與的交點(diǎn)坐標(biāo)．

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，由①知，

由直線(xiàn)的方程為：

令，得

所以直線(xiàn)與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，

綜上所述，點(diǎn)在一條定直線(xiàn)上，