Question

如圖，半徑為30的圓形（為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點(diǎn)在圓弧上，點(diǎn)在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形材料卷成一個(gè)以為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗），設(shè)與矩形材料的邊的夾角為，圓柱的體積為.

（Ⅰ）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式？
（Ⅱ）求圓柱形罐子體積的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

解析試題分析：方法一：（Ⅰ）在中，，將此矩形材料卷成一個(gè)以為母線的圓柱，則其底面周長(zhǎng)為，設(shè)地面半徑為，則，由柱體的體積公式，可知；（Ⅱ）利用換元法求解，令，則，對(duì)其求導(dǎo)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知當(dāng)時(shí)，體積取得最大值.
方法二：（1）連接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，則，利用勾股定理可得，設(shè)圓柱底面半徑為r，則＝2πr，即可得出r．
利用V=πr²•x（其中0＜x＜30）即可得出V與x的關(guān)系，進(jìn)而得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．
（2）利用（1）可知（），再對(duì)V求導(dǎo)得V′，得出其單調(diào)性，可知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最大值．
試題解析：【解法1】：（1）
（2）令，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即當(dāng)時(shí)，體積取得最大值.
【解法2】：（1）連接，在中，設(shè)，則
設(shè)圓柱底面半徑為，則，即，
，其中.
（2）由，得;
由解得；由解得．
因此在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．
所以當(dāng)時(shí)，有最大值．
考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；2.解三角形.