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        1. 【題目】如圖,A是橢圓的左頂點(diǎn),點(diǎn)P,Q在橢圓上且均在x軸上方.

          (1)若直線AP與OP垂直,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

          (2)若直線AP,AQ的斜率之積為,求直線PQ的斜率的取值范圍.

          【答案】(1) (2)

          【解析】

          1)設(shè)P的坐標(biāo),可得向量OP,AP的坐標(biāo),由向量垂直的條件:數(shù)量積為0,結(jié)合P的坐標(biāo)滿足橢圓方程,解方程可得P的坐標(biāo);

          2)設(shè)出AP,AQ的斜率,以及直線AP,AQ的方程,聯(lián)立橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,求得PQ的坐標(biāo),和直線PQ的斜率,結(jié)合基本不等式可得所求范圍.

          (1)設(shè)

          ,

          因?yàn)橹本AP與OP垂直,

          所以,即,

          又點(diǎn)P在橢圓上,所以

          由①②得或-2(舍去),代入②得,

          因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上方,所以.

          (2)由于直線AP,AQ的斜率之積為,點(diǎn)P,Q在橢圓上且均在x軸上方.

          所以可設(shè)直線AP,AQ的斜率分別為,則,

          所以直線AP的方程為

          聯(lián)立,

          設(shè)

          ,即,

          同理可得,.

          所以直線PQ的斜率為

          因?yàn)?/span>,

          所以,注意到,點(diǎn)P,Q不重合,所以等號(hào)不成立,

          所以

          所以直線PQ的斜率的取值范圍為

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