Question

已知：數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=0，b₁=1，且當n∈N^*時，a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求最小自然數(shù)k，使得當n≥k時，對任意實數(shù)λ∈[0，1]，不等式（2λ-3）b_n≥（2λ-4）a_n+（λ-3）恒成立；
（3）設（n∈N^*），求證：當n≥2都有．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意2b_n=a_n+a_n+1，a_n+²₁=b_n•b_n+1．變形得，利用等差數(shù)列的性質求出，利用等比數(shù)列的通項公式求出公比，進一步求出通項．
（2）將a_n，b_n代入不等式整理得：（2n-1）λ+n²-4n+3≥0，令f（λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3，則f（λ）是關于λ的一次函數(shù)，由題意可得關于n的不等關系，解得n的取值范圍，從而得到存在最小自然數(shù)k=3，使得當n≥k時，不等式（*）恒成立；
（3）由（1）得…+．從而，（n≥2），，由（d_n²-d_n-1²）+（d_n-1²-d_n-2²）+…+（d₂²-d₁²）=…+）…+，據(jù)其特點是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的減構成，利用分組法求出數(shù)列的前n項和即可得到證明．
解答：解：（1）依題意2b_n=a_n+a_n+1，a_n+²₁=b_n•b_n+1．又∵a₁=0，b₁=1，∴b_n≥0，a_n≥0，且，
∴（n≥2），∴數(shù)列是等差數(shù)列，又b₂=4，
∴，n=1也適合．∴b_n=n²，a_n=（n-1）n．（4分）
（2）將a_n，b_n代入不等式（2λ-3）b_n≥（2λ-4）a_n+（λ-3）（*）
整理得：（2n-1）λ+n²-4n+3≥0         （6分）
令f（λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3，則f（λ）是關于λ的一次函數(shù)，由題意可得，
∴，解得n≤1或n≥3．∴存在最小自然數(shù)k=3，使得當n≥k時，不等式（*）恒成立．（8分）
（3）由（1）得…+．∴，（n≥2），
∴（10分）
由（d_n²-d_n-1²）+（d_n-1²-d_n-2²）+…+（d₂²-d₁²）=…+）…+，
即：d_n²=2（…+）…+（12分）
∵…+＜…+
=…+=＜1．
∴當n≥2時，d_n²＞2（…+）．      （14分）
點評：本小題主要考查函等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列與不等式的綜合、不等式的證明等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．求數(shù)列的前n項和，首先求出數(shù)列的通項，根據(jù)數(shù)列通項的特點，選擇合適的求和方法．