Question

已知正數(shù)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，若a₁+a₂=96，a₃+a₄=24，
（1）求a₅+a₆；
（2）記R_n=a₁•a₂•a₃…a_n，試求R_n取最大值時n的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得：q²=

a3+a4

a1+a2

=

24

96

=

1

4

，則有a₅+a₆=q²（a₃+a₄），進而得到答案．
（2）由（1）可得：q=

1

2

，再結(jié)合題中的條件可得：a_n=a₁•q^n-1=64•(

1

2

)n-1，令a_n=64•(

1

2

)n-1≥1可得n≤7，進而得到答案．

解答：解：（1）因為a₁+a₂=96，a₃+a₄=24，
所以根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得：q²=

a3+a4

a1+a2

=

24

96

=

1

4

，
所以a₅+a₆=q²（a₃+a₄）=6，
所以a₅+a₆=6．
（2）由（1）可得：q=

1

2

，
因為a₁+a₂=96，
所以a₁=64，
所以a_n=a₁•q^n-1=64•(

1

2

)n-1．
若要使R_n=a₁•a₂•a₃…a_n最大則必須都是大于或者等于1的正數(shù)，即a_n=64•(

1

2

)n-1≥1，
所以n≤7，
所以R_n取最大值時n=6或7．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)與通項公式，以及解不等式的有關(guān)知識，此題屬于基礎(chǔ)題．