Question

【題目】已知橢圓：．

（1）若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與的焦點(diǎn)重合，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若的上頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)及軸上一點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若為的中心，為上一點(diǎn)(非的頂點(diǎn))，過(guò)的左頂點(diǎn)，作，交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：．

Answer 1

【答案】（1）拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為和．

（2）或．

（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的方程和拋物線(xiàn)的性質(zhì)即可求出；

（2）按哪個(gè)角為直角進(jìn)行分類(lèi)，結(jié)合數(shù)量積為0，計(jì)算得到M的坐標(biāo).

（3）由B（﹣3，0），BQ∥OP，設(shè)直線(xiàn)BQ的方程為x＝my﹣3，直線(xiàn)OP的方程為x＝my，分別于橢圓的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)Q，N，P的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的運(yùn)算即可證明.

(1) 橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為和．

(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的上頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為．

當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；

當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，，，由，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

因此，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

(3)設(shè)直線(xiàn)的方程為()，直線(xiàn)的方程為．

于是點(diǎn)，的坐標(biāo)，為方程組的實(shí)數(shù)解，

解得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

點(diǎn)，的坐標(biāo)，為方程組的實(shí)數(shù)解，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

又點(diǎn)的坐標(biāo)為．

于是，，，

，

，

即，得證．