Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的方程；

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.

（2）時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為和；

時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為和；單調(diào)減區(qū)間為.

（3）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，代入，求得，再求，利用直線方程的點(diǎn)斜式求解即可.

（2）求出，通過(guò)討論的取值，分別求出，所對(duì)應(yīng)的區(qū)間即為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

（3）當(dāng)時(shí)恒成立等價(jià)于在恒成立，令，由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可求得的取值范圍.

（1），得.

當(dāng)時(shí)，，，即函數(shù)在處的切線斜率為0.

又,故曲線在點(diǎn)處切線的方程為.

(2).

,

①若，由得；由得，又，

所以在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.

②若，由得；由得，又，

所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上所述，時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為和.

時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為和；單調(diào)減區(qū)間為.

（3）時(shí)，恒成立,即在恒成立.

令，則.

則時(shí)，；，.

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.

.