已知函數(shù),
,
.
(1)若在
存在極值,求
的取值范圍;
(2)若,問是否存在與曲線
和
都相切的直線?若存在,判斷有幾條?并求出公切線方程,若不存在,說明理由。
(1)(2)存在一條公切線,切線方程為:
解析試題分析:(Ⅰ) 依題有:則
在
上有變號零點;
令,則
當(dāng),則
;當(dāng)
,則
因此,在
處取得極小值。 3分
而,
,
易知,
①當(dāng)存在兩個變號零點時,,可得:
② 當(dāng)存在一個變號零點時,,可得:
綜上,當(dāng)在
上存在極值時,
的范圍為:
6分
(Ⅱ) 當(dāng)時,
,
易知是
與
的一個公共點。
若有公共切線,則必為切點,∵
,∴
可知在
處的切線為
而,∴
則
可知在
處的切線也為
因此,存在一條公切線,切線方程為:。 12分
考點:函數(shù)單調(diào)性極值最值
點評:函數(shù)在某區(qū)間有極值,則在區(qū)間上有變號零點,轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)最大值最小值一正一負,第二問找到兩函數(shù)的公共點是求解的關(guān)鍵,只需求在該點處的兩條切線看其是否相同
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,一矩形鐵皮的長為8cm,寬為5cm,在四個角上截去四個相同的小正方形,制成一個無蓋的小盒子,問小正方形的邊長為多少時,盒子容積最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)在
處取得極值.
(1)求實數(shù)的值;
(2)若關(guān)于的方程
在區(qū)間
上恰有兩個不同的實數(shù)根,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)證明:對任意的正整數(shù),不等式
都成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)”
.
(Ⅰ)證明:只要,無論
取何值,函數(shù)
在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù);
(Ⅱ)在同一函數(shù)圖像上任意取不同兩點A(),B(
),線段AB中點為C(
),記直線AB的斜率為k.
(1)對于二次函數(shù),求證
;
(2)對于“偽二次函數(shù)” ,是否有(1)同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)
.
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線與直線x+y+1=0平行,求a的值;
(Ⅱ)若a>0,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,a 2-3)上存在極值,求a的取值范圍;
(Ⅲ)若a>2,求證:函數(shù)y=f(x)在(0,2)上恰有一個零點.
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已知函數(shù)
.
(Ⅰ)若a>0,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,a 2-3)上存在極值,求a的取值范圍;
(Ⅱ)若a>2,求證:函數(shù)y=f(x)在(0,2)上恰有一個零點.
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設(shè)定函數(shù) (
>0),且方程
的兩個根分別為1,4。
(Ⅰ)當(dāng)=3且曲線
過原點時,求
的解析式;
(Ⅱ)若在
無極值點,求a的取值范圍。
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設(shè)的導(dǎo)數(shù)為
,若函數(shù)
的圖像關(guān)于直
對稱,且
. (1)求實數(shù)
的值 ;(2)求函數(shù)
的極值.
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