Question

已知函數f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+1．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對函數解析式化簡，利用周期公式求得函數的最小正周期．
（Ⅱ）利用x的范圍，確定2x+

π

6

的范圍，進而利用正弦函數的單調性求得函數f（x）在區(qū)間上的最大和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2

3

sinxcosx-2sin²x+1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴當2x+

π

6

=

π

2

時，即x=

π

6

時函數有最大值，最大值為2，
當2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時，函數f（x）在[0，

π

2

]上有最小值，最小值為-1

點評：本題主要考查了兩角和公式，二倍角公式的應用，三角函數圖象與性質．考查了學生對三角函數基礎知識的掌握．