Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

Ⅰ當時，求曲線在點處的切線方程；

Ⅱ當時，若在區(qū)間上的最小值為，求a的取值范圍；

Ⅲ若，，且，恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）.

【解析】

Ⅰ 求出,由的值可得切點坐標，求出的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；Ⅱ確定函數(shù)的定義域，求導函數(shù)，分類討論，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性，利用單調性求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，即可求的取值范圍；Ⅲ設，則，對任意，，，且恒成立，等價于在上單調遞增，由此可求的取值范圍．

Ⅰ當時，，

因為，，所以切線方程為

Ⅱ函數(shù)的定義域為．

當時，，

令，即，所以或

當，即時，在上單調遞增，

所以在上的最小值是；

當時，在上的最小值是，不合題意；

當時，在上單調遞減，

所以在上的最小值是，不合題意

綜上可得

Ⅲ設，則，對任意，，，且恒成立，等價于在上單調遞增.

而，

當時，，此時在單調遞增；

當時，只需在恒成立，因為，只要，則需要，

對于函數(shù)，過定點，對稱軸，只需，即

綜上可得