Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知P是直線上的一個動點，圓Q的方程為：設(shè)以線段PQ為直徑的圓E與圓Q交于C，D兩點．

證明：PC，PD均與圓Q相切；

當時，求點P的坐標；

求線段CD長度的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2） (3)

【解析】

（1）根據(jù)題意，連接CQ、CD，分析易得PC⊥CQ，PD⊥DQ，又由C、D都在圓Q上，即可得證明；

（2）根據(jù)題意，設(shè)P（m，m+4），由直線與圓的位置關(guān)系可得|PQ|2=PC2+CQ2=63+9=72，由兩點間距離公式可得（m﹣4）2+（m+8）2=72，解可得m的值，即可得答案；

（3）根據(jù)題意，設(shè)PQ=t，求出PC的值，據(jù)此可得CD=2×=6，分析可得當t取得最小值時，CD的值最小，進而可得當PQ與直線x﹣y+4=0垂直時，PQ最小，計算即可得答案．

證明：根據(jù)題意，連接CQ、CD，

圓E是以線段PQ為直徑的圓，則，即，，

又由C、D都在圓Q上，

則PC，PD均與圓Q相切；

根據(jù)題意，設(shè)，

圓Q的方程為：，圓心，半徑，

當時，，

則有，即

解可得：，

則P的坐標為；

根據(jù)題意，設(shè)，則，

則，

分析可得：當t取得最小值時，CD的值最小，

當PQ與直線垂直時，PQ最小，且PQ的最小值為，

此時CD取得最小值，且其最小值為．