Question

已知A（-，0），B（，0）為平面內(nèi)兩定點，動點P滿足|PA|+|PB|=2．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設(shè)直線l：y=k（x+）（k＞0）與（1）中點P的軌跡交于M，N兩點，求△BMN的最大面積及此時的直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)P到兩個定點A、B的距離和等于定值，可得P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，結(jié)合橢圓的基本概念即可求出動點P的軌跡方程；
（2）由直線MN方程與橢圓方程聯(lián)解，消去x得（1+4k²）y²-y-k²=0．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系算出|y₁-y₂|²=，再用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)算出|y₁-y₂|的最大值為，相應(yīng)的k=．最后根據(jù)△BMN的面積S=•|AB|•|y₁-y₂|，即可得出△BMN的最大面積為，此時的直線l方程為 y=±（x）．
解答：解：（1）∵|PA|+|PB|=2，|AB|=＜2
∴動點P的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，
設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0）
可得a=1，c=，b==，
因此，橢圓方程為，可得動點P的軌跡方程為x²+4y²=1；
（2）由消去x，得（1+4k²）y²-y-k²=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得，
∴|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=，
令1+4k²=t，則|y₁-y₂|²=-++
當(dāng)=，即t=3時|y₁-y₂|²的最大值為，
可得|y₁-y₂|的最大值為，相應(yīng)的k=
∵△BMN的面積S=•|AB|•|y₁-y₂|
∴當(dāng)且僅當(dāng)k=時，△BMN的面積S=××=，達到最大值
綜上所述，△BMN的最大面積為，此時的直線方程為y=（x+），即y=±（x）．
點評：本題給出動點滿足的條件，求動點的軌跡方程并求三角形面積的最大值．著重考查了橢圓的定義與概念、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和函數(shù)的最值討論等知識，考查了轉(zhuǎn)化化歸與數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于中檔題．