Question

已知A（-2，0），B（2，0），點P在圓（x-3）²+（y-4）²=4上運動，則|PA|²+|PB|²的最小值是

26

．

Answer 1

分析：由點A（-2，0），B（2，0），設(shè)P（a，b），則|PA|²+|PB|²=2a²+2b²+8，由點P在圓（x-3）²+（y-4）²=4上運動，通過三角代換，化簡|PA|²+|PB|²為一個角的三角函數(shù)的形式，然后求出最小值．

解答：解：∵點A（-2，0），B（2，0），
設(shè)P（a，b），則|PA|²+|PB|²=2a²+2b²+8，
由點P在圓（x-3）²+（y-4）²=4上運動，
（a-3）²+（b-4）²=4
令a=3+2cosα，b=4+2sinα，
所以|PA|²+|PB|²=2a²+2b²+8
=2（3+2cosα）²+2（4+2sinα）²+8
=66+24cosα+32sinα
=66+40sin（α+φ），（tanφ=

3

4

）．
所以|PA|²+|PB|²≥26．當(dāng)且僅當(dāng)sin（α+φ）=-1時，取得最小值．
∴|PA|²+|PB|²的最小值為26．
故答案為：26．

點評：本題考查直線的一般式方程與兩點間距離公式的應(yīng)用，具體涉及到直線方程秘圓的簡單性質(zhì)，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．