Question

【題目】設(shè)常數(shù)，函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí)，判斷在上單調(diào)性，并加以證明；

（2）當(dāng)時(shí)，研究的奇偶性，并說明理由；

（3）當(dāng)時(shí)，若存在區(qū)間使得在上的值域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上是單調(diào)遞增.證明見解析（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由函數(shù)的單調(diào)性定義即可證明。

（2）由函數(shù)的奇偶性定義即可證明。

（3）首先證明函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)證明函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，解關(guān)于一元二次方程即可；

同理當(dāng)時(shí)，求出單調(diào)區(qū)間，當(dāng)函數(shù)是單調(diào)遞減時(shí)，則代入化簡即可求解。

解：（1）當(dāng)時(shí)，

任取

則

∵

∴

∴

∴

∵，

∴，

∴，

∴

即：

∴在上是單調(diào)遞增.

（2）①當(dāng)時(shí)，

∵

∴為偶函數(shù)

②當(dāng)時(shí)，

，則

當(dāng)且時(shí)，的定義域?yàn)?/span>

定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱

∴為非奇非偶函數(shù)

當(dāng)時(shí)，，的定義域?yàn)?/span>

定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱

∴為奇函數(shù).

（3）①當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?/span>

∵單調(diào)遞增，∴單調(diào)遞減

∴在上單調(diào)遞增

由題意得：

∴

∴，是一元二次方程：

的兩個(gè)不等的正根

∴

②當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)?/span>

∵當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>

∴，

當(dāng)時(shí)，

∵單調(diào)遞增，∴單調(diào)遞減

∴在上單調(diào)遞減

∴

∴

∵

∴

∴

綜上所述：的取值范圍是.