【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若是
的極大值點(diǎn),求
的取值范圍;
(2)當(dāng),
時(shí),方程
(其中
)有唯一實(shí)數(shù)解,求
的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由題意,求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到,分類討論得到函數(shù)的單調(diào)性和極值,即可求解實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)因?yàn)榉匠?/span>有唯一實(shí)數(shù)解,即
有唯一實(shí)數(shù)解,設(shè)
,利用導(dǎo)數(shù)
,令
,得
,由此入手即可求解實(shí)數(shù)m的值.
(1)由題意,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>
,則導(dǎo)數(shù)為
由,得
,∴
①若,由
,得
.
當(dāng)時(shí),
,此時(shí)
單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
,此時(shí)
單調(diào)遞減.
所以是
的極大值點(diǎn)
②若,由
,得
,或
.
因?yàn)?/span>是
的極大值點(diǎn),所以
,解得
綜合①②:的取值范圍是
(2)因?yàn)榉匠?/span>有唯一實(shí)數(shù)解,所以
有唯一實(shí)數(shù)解
設(shè),則
,
令,即
.
因?yàn)?/span>,
,所以
(舍去),
當(dāng)時(shí),
,
在
上單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),
,
在
單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí),
,
取最小值
則,即
,
所以,因?yàn)?/span>
,所以
(*)
設(shè)函數(shù),
因?yàn)楫?dāng)時(shí),
是增函數(shù),所以
至多有一解
因?yàn)?/span>,所以方程(*)的解為
,即
,解得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)常數(shù),函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),判斷
在
上單調(diào)性,并加以證明;
(2)當(dāng)時(shí),研究
的奇偶性,并說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)時(shí),若存在區(qū)間
使得
在
上的值域?yàn)?/span>
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,
分別為雙曲線
的左、右焦點(diǎn),以
為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為
,
,設(shè)四邊形
的周長(zhǎng)為
,面積為
,且滿足
,則該雙曲線的離心率為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列、
、
,對(duì)于給定的正整數(shù)
,記
,
.若對(duì)任意的正整數(shù)
滿足:
,且
是等差數(shù)列,則稱數(shù)列
為“
”數(shù)列.
(1)若數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,證明:
為
數(shù)列;
(2)若數(shù)列為
數(shù)列,且
,求數(shù)列
的通項(xiàng)公式;
(3)若數(shù)列為
數(shù)列,證明:
是等差數(shù)列 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某書店為了了解銷售單價(jià)(單位:元)在]內(nèi)的圖書銷售情況,從2018年上半年已經(jīng)銷售的圖書中隨機(jī)抽取100本,獲得的所有樣本數(shù)據(jù)按照
,
,
,
,
,
分成6組,制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知樣本中銷售單價(jià)在
內(nèi)的圖書數(shù)是銷售單價(jià)在
內(nèi)的圖書數(shù)的2倍.
(1)求出與
,再根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這100本圖書銷售單價(jià)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(2)用分層抽樣的方法從銷售單價(jià)在[8,20]內(nèi)的圖書中共抽取40本,求單價(jià)在6組樣本數(shù)據(jù)中的圖書銷售的數(shù)量;
(3)從(2)中抽取且價(jià)格低于12元的書中任取2本,求這2本書價(jià)格都不低于10元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的離心率
,橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)
的距離的最大值為3.
(1)求橢圓的方程;
(2)求橢圓的外切矩形
的面積
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】自由購(gòu)是通過(guò)自助結(jié)算方式購(gòu)物的一種形式.某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購(gòu)的情況,隨機(jī)抽取了100人,統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下:
20以下 | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] | 70以上 | |
使用人數(shù) | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人數(shù) | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(Ⅰ)現(xiàn)隨機(jī)抽取1名顧客,試估計(jì)該顧客年齡在且未使用自由購(gòu)的概率;
(Ⅱ)從被抽取的年齡在使用自由購(gòu)的顧客中,隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況,用
表示這3人中年齡在
的人數(shù),求隨機(jī)變量
的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)為鼓勵(lì)顧客使用自由購(gòu),該超市擬對(duì)使用自由購(gòu)的顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋.若某日該超市預(yù)計(jì)有5000人購(gòu)物,試估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
是矩形,
是
的中點(diǎn),
與
交于點(diǎn)
,
平面
,
,
,
.
(1)求證;平面平面
(2)求直線與平面
所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三人參加微信群搶紅包游戲,規(guī)則如下:每輪游戲發(fā)個(gè)紅包,每個(gè)紅包金額為
元,
.已知在每輪游戲中所產(chǎn)生的
個(gè)紅包金額的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求的值,并根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)紅包金額的眾數(shù);
(2)以頻率分布直方圖中的頻率作為概率,若甲、乙、丙三人從中各搶到一個(gè)紅包,其中金額在的紅包個(gè)數(shù)為
,求
的分布列和期望.
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