Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若是的極大值點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）當(dāng)，時(shí)，方程（其中）有唯一實(shí)數(shù)解，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得到，分類(lèi)討論得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）因?yàn)榉匠?/span>有唯一實(shí)數(shù)解，即有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)，令，得，由此入手即可求解實(shí)數(shù)m的值．

（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則導(dǎo)數(shù)為

由，得，∴

①若，由，得.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減.

所以是的極大值點(diǎn)

②若，由，得，或.

因?yàn)?/span>是的極大值點(diǎn)，所以，解得

綜合①②：的取值范圍是

（2）因?yàn)榉匠?/span>有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解

設(shè)，則，

令，即.

因?yàn)?/span>，，所以（舍去），

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，，取最小值

則，即，

所以，因?yàn)?/span>，所以（*）

設(shè)函數(shù)，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解

因?yàn)?/span>，所以方程（*）的解為，即，解得