Question

【題目】已知三棱錐P-ABC（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形ABCD為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐P-ABC中：

（1）證明：平面平面ABC；

（2）若點(diǎn)M在棱PA上運(yùn)動，當(dāng)直線BM與平面PAC所成的角最大時(shí)，求直線MA與平面MBC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1) 設(shè)的中點(diǎn)為,連接.由展開圖可知,，.為的中點(diǎn),則有,根據(jù)勾股定理可證得,

則平面,即可證得平面平面．

(2) 由線面成角的定義可知是直線與平面所成的角，

且,最大即為最短時(shí),即是的中點(diǎn)

建立空間直角坐標(biāo)系,求出與平面的法向量利用公式即可求得結(jié)果.

（1）設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接BO，PO．

由題意，得，，．

在中，，O為AC的中點(diǎn)，，

在中，，，，，．

，平面，平面ABC，

平面PAC，平面平面ABC．

（2）由（1）知，，，平面PAC，

是直線BM與平面PAC所成的角，

且，

當(dāng)OM最短時(shí)，即M是PA的中點(diǎn)時(shí)，最大．

由平面ABC，，

，，

于是以OC，OB，OD所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖示空間直角坐標(biāo)系，

則，

，

設(shè)平面MBC的法向量為，直線MA與平面MBC所成角為，

則由得：.

令，得，，即.

則.

直線MA與平面MBC所成角的正弦值為.