Question

【題目】已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點相同.

（1）求拋物線的方程；

（2）若直線與曲線，都只有一個公共點，記直線與拋物線的公共點為，求點的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）求出橢圓的焦點坐標(biāo)，即得拋物線焦點坐標(biāo)，可得拋物線方程；

（2）說明斜率不存在的直線不可能是公切線，斜率存在時，設(shè)方程為，由兩個相切，即相應(yīng)的，求得，從而得切點坐標(biāo)．

（1）由已知可得橢圓的，，所以，即，因此橢圓的右焦點為.

于是，由，得，拋物線的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，顯然不滿足題意.

當(dāng)直線的斜率不存在時，顯然不滿足題意.

當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為.

聯(lián)立與，得方程組，消去，整理，得，

所以，即.（*）

聯(lián)立與，得方程組，消去，整理，得.

∴，即.（**）

由（*）和（**）得，所以

，

其對應(yīng)的.

將的值代入方程，解得，進(jìn)而.

經(jīng)檢驗或符合題意，為所求.