Question

17．已知，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F
（1）如圖①，求證：AE=AF；
（2）如圖②，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．連接CE′BF′．
①若BF′=6，求CE′的長(zhǎng)；
②若∠EBC=∠BAC=36°，在圖②的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)CE′∥AB時(shí)，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等∠B=∠C，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，∠AFE=∠B，∠AEF=∠C，得出∠AFE=∠AEF，進(jìn)一步得出結(jié)論；
（2）求出AE=AF，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，然后利用“邊角邊”證明△CAE′和△BAF′全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可；
（3）把△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)AE′與過(guò)點(diǎn)C與AB平行的直線相交于M、N，然后分兩種情況，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)分別求解即可．

解答 （1）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
（2）解：①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，
在△CAE′和△BAF′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE′=AF′}\\{∠E′AC=∠F′AB}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△CAE′≌△BAF′（SAS），
∴CE′=BF′=6；
②由（1）可知AE=BC，
所以，在△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)E經(jīng)過(guò)的路徑（圓�。┡c過(guò)點(diǎn)C且與AB平行的直線l相交于點(diǎn)M、N，如圖，

①當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)M重合時(shí)，四邊形ABCM是等腰梯形，
所以，∠BAM=∠ABC=72°，
又∵∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°；
②當(dāng)點(diǎn)E的像E′與點(diǎn)N重合時(shí)，
∵CE′∥AB，
∴∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°-72°×2=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，
綜上所述，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α為36°或72°．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合熟練掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．