Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點E在斜邊AB上，以AE為直徑的⊙O與BC相切于點D，若BE=6，BD=6．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）連結OD，如圖，設⊙O的半徑，則OD=OE=r，先利用切線的性質(zhì)得∠ODB=90°，則根據(jù)勾股定理得到r²+（6$\sqrt{3}$）²=（r+6）²，然后解方程即可；
（2）作OH⊥AD于D，則DH=AH，如圖，在Rt△OBD中，利用正切的定義可求出∠DOB=60°，則∠AOD=120°，于是得到∠DOH=$\frac{1}{2}$∠AOD=60°，接著根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得到OH=$\frac{1}{2}$OH=3，DH=$\sqrt{3}$OH=3$\sqrt{3}$，則AD=2DH=6$\sqrt{3}$，然后根據(jù)扇形面積公式，利用S_陰影=S_扇形AOD-S_△AOD進行計算即可．

解答 解：（1）連結OD，如圖，設⊙O的半徑，則OD=OE=r，
∵⊙O與BC相切于點D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB=90°，
在Rt△OBD中，∵OD²+BD²=OB²，
∴r²+（6$\sqrt{3}$）²=（r+6）²，解得r=6，
∴⊙O的半徑為6；
（2）作OH⊥AD于D，則DH=AH，如圖，
在Rt△OBD中，∵tan∠DOB=$\frac{BD}{OD}$=$\frac{6\sqrt{3}}{6}$=$\sqrt{3}$，
∴∠DOB=60°，
∴∠AOD=120°，
∵OD=OA，
∴∠DOH=$\frac{1}{2}$∠AOD=60°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OH=3，DH=$\sqrt{3}$OH=3$\sqrt{3}$，
∴AD=2DH=6$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_扇形AOD-S_△AOD=$\frac{120•π•{6}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$•6$\sqrt{3}$•3=12π-9．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．解決（2）小題的關鍵是利用扇形面積減去三角形面積得到陰影部分的面積．