Question

1．已知：AB=AC=BD=kBE，∠BAC=2∠BED，∠DBE=90°，點O為CE的中點，連接CD、AO．
（1）如圖1，C，D、E在一條直線上，k=1，①求∠BDE的度數(shù)；②線段AO，CD有怎樣的關(guān)系？請證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，將△BED繞點B旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，求$\frac{CD}{AO}$的值．（用含k的式子表示）

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和已知條件求出∠BDE的度數(shù)；
②延長CA至M，使AM=AC，連接BM、EM，證明△EBM≌△DBC，得到CD=EM，根據(jù)三角形中位線定理證明AO=$\frac{1}{2}$EM，得到答案；
（2）延長CA至G，使AG=AC，連接BG、EG、BC，證明△GBC∽△EBD和△GBE∽△CBD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到答案．

解答 解：（1）①BD=k•BE，k=1，
∴BD=BE，
∴∠BDE=∠BED，
又∵∠DBE=90°，
∴∠BDE=45°；
②AO=$\frac{1}{2}$CD；理由如下：
延長CA至M，使AM=AC，連接BM、EM，如圖1所示：
∵∠BDE=∠BED，∠BDE=45°，
∴∠BED=45°，
∵∠BAC=2∠BED，
∴∠BAC=90°，又AB=AC，
∴∠ACB=45°，
∵AM=AC，AB=AC，
∴∠MBC=90°，
∴BM=BC，
∵∠DBE=90°，∠MBC=90°，
∴∠EBM=∠DBC，
在△EBM和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BD}\\{∠EBM=∠DBC}\\{BM=BC}\end{array}\right.$，
∴△EBM≌△DBC（SAS），
∴CD=EM，
∵點O為CE的中點，AM=AC，
∴AO=$\frac{1}{2}$EM，
∴AO=$\frac{1}{2}$CD；
（2）延長CA至G，使AG=AC，連接BG、EG、BC如圖2所示：
∵AG=AC，AB=AC，
∴∠GBC=90°，
又∵∠DBE=90°，
∴∠EBG=∠DBC，
∵AG=AB，
∴∠ABG=∠AGB，
∴∠BAC=2∠ABG，又∠BAC=2∠BED，
∴∠ABG=∠BED，又∠GBC=∠DBE=90°，
∴△GBC∽△EBD，
∴$\frac{BG}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$，
又∵∠ABG=∠AGB，
∴△GBE∽△CBD，
∴$\frac{CD}{GE}$=$\frac{BD}{BE}$=k，
∴CD=k•GE，
∵EO=OC，GA=AC，
∴GE=2OA，
∴CD=2k•OA，
∴$\frac{CD}{OA}$=2k．

點評 本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，需作輔助線，構(gòu)造相似三角形，并運用全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．