Question

如圖，從⊙O外一點A作⊙O的切線AB，AC，切點分別為B，C，⊙O的直徑BD為6，連結CD，AO．
（1）求證：CD∥AO；
（2）求CD•AO的值；
（3）若AO=2CD，求劣弧BC的長．

Answer 1

（1）證明：
連接OC，
∵AC、AB分別切⊙O于C、B，
∴∠ACO=∠ABO=90°，∠CAO=∠BAO，
∵∠COA+∠ACO+∠CAO=180°，∠BOA+∠BAO+∠OBA=180°，
∴∠COA=∠BOA，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠COA+∠BOA=∠OCD+∠ODC，
∴2∠ODC=2∠AOB，
即∠D=∠AOB，
∴CD∥AO．

（2）
連接BC，
∵BD是⊙O直徑，
∴∠DCB=∠ABO=90°，
∵∠D=∠AOB，
∴△BCD∽△ABO，
∴

DC

DB

=

BO

AO

，
∴CD•AO=DB•BO=6×3=18．


（3）∵CD•AO=18，AO=2CD，
∴CD=3，
∵OC=3=OD=3，
∴△COD是等邊三角形，
∴∠OCD=∠ODC=60°，
∴∠COB=120°，
∴弧BC的長是

120π•3

180

=2π．