Question

15．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=2，點E、F分別在兩腰上，
且EF∥AD，AE：EB=2：1；
（1）求線段EF的長；
（2）設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$，試用$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$表示向量$\overrightarrow{EC}$．

Answer 1

分析 （1）作BM∥CD交AD、EF于M、N兩點，將問題轉(zhuǎn)化到△ABM中，利用相似三角形的判定與性質(zhì)求EN，由EF=EN+NF=EN+AD進行求解；
（2）由$\frac{BC}{AD}$=$\frac{2}{3}$、$\frac{EB}{AB}$=$\frac{1}{3}$得BC=$\frac{2}{3}$AD，EB=$\frac{1}{3}$AB，根據(jù)$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}$可得答案．

解答 解：（1）作BM∥CD交AD、EF于M、N兩點，

又AD∥BC，EF∥AD，
∴四邊形BCFN與MNFD均為平行四邊形．
∴BC=NF=MD=2，
∴AM=AD-MD=1．
又$\frac{AE}{EB}$=2，
∴$\frac{BE}{BA}$=$\frac{1}{3}$，
∵EF∥AD，
∴△BEN∽△BAM，
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{EN}{AM}$，即$\frac{1}{3}=\frac{EN}{1}$，
∴EN=$\frac{1}{3}$，
則EF=EN+NF=$\frac{7}{3}$；

（2）∵$\frac{BC}{AD}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{EB}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
∴BC=$\frac{2}{3}$AD，EB=$\frac{1}{3}$AB，
∴$\overrightarrow{EB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$，$\overrightarrow{EB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$，
則$\overrightarrow{EC}$=$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$．

點評 本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及向量的運算，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)得出對應(yīng)邊的長度之比和向量的基本運算是解題的關(guān)鍵．