Question

2．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，5），二次函數(shù)y=x²的圖象記為拋物線l₁．

（1）平移拋物線l₁，使平移后的拋物線過A，B兩點(diǎn)，記為拋物線l₂，如圖②，求拋物線l₂的函數(shù)表達(dá)式；
（2）請(qǐng)?jiān)趫D②上用尺規(guī)作圖的方式探究拋物線l₂上是否存在點(diǎn)P，使△ABP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)判斷點(diǎn)P共有幾個(gè)可能的位置（保留作圖痕跡）并在圖中畫出P點(diǎn)，以P₁、P₂、P₃、表示不同的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）設(shè)拋物線l₂的頂點(diǎn)為C，K為拋物線l₂一點(diǎn)．若S_△ABK=S_△ABC，求點(diǎn)K的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)等腰三角形的定義：P₁A=P₁B，P₂A=P₂B，P₃B=AB，P₅B=P₂B，P₄A=P₂A，可得答案；
（3）根據(jù)平行線的間距離相等，可得AB的平行線CK₁，K₂K₃，根據(jù)解方程組，可得自變量，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=x²=bx+c．將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入得$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=2}\\{16+4b+c=5}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=5}\end{array}\right.$．
拋物線的解析式為y=x²-4x+5．
（2）如圖1：，
P₁A=P₁B，P₂A=P₂B，P₃B=AB，P₅B=P₂B，P₄A=P₂A； 
（3）如圖2：，
y=x²-4x+5=（x-2）²+1，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1）．
AB的解析式為y=x+1，設(shè)過C點(diǎn)平行于AB的直線為y=x+b，
將C（2，1）代入函數(shù)解析式，得
2+b=1，解得b=-1，
過C點(diǎn)平行于AB的直線為y=x-1，
聯(lián)立CK₁與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y={x}^{2}-4x+5}\end{array}\right.$，
消元化簡(jiǎn)，得
x²-5x+6=0，解得x=2（不符合題意，舍），x=3，
當(dāng)x=3時(shí)，y=x-1=2，即K₁（3，2）；
設(shè)平行于AB且到AB的距離等于CK₁到AB的距離K₂K₃，
AB向下平移兩個(gè)單位得CK₁，AB向上平移兩個(gè)單位得K₂K₃
K₂K₃的解析式為y=x+1+2，即y=x+3，
聯(lián)立K₂K₃與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y={x}^{2}-4x+5}\end{array}\right.$，
消元化簡(jiǎn)，得
x²-5x+2=0，解得x=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，x=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$，
當(dāng)x=$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$時(shí)，y=x+3=$\frac{11+\sqrt{17}}{2}$，即K₂（$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{11+\sqrt{17}}{2}$）；
當(dāng)x=$\frac{5-\sqrt{17}}{2}$時(shí)，y=x+3=$\frac{11-\sqrt{17}}{2}$，即K₂（$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{11+\sqrt{17}}{2}$）；
綜上所述：若S_△ABK=S_△ABC，點(diǎn)K的坐標(biāo)K₁（3，2），K₂（$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{11+\sqrt{17}}{2}$），K₂（$\frac{5+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{11+\sqrt{17}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用等腰三角形的定義得出P₁A=P₁B，P₂A=P₂B，P₃B=AB，P₅B=P₂B，P₄A=P₂A是解題關(guān)鍵；利用平行線的間距離相等得出AB的平行線CK₁，K₂K₃是解題關(guān)鍵．