Question

【題目】已知拋物y=ax2+bx+c(b<0)與軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

(1)若公共點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，求a、c滿足的關(guān)系式；

(2)設(shè)A為拋物線上的一定點(diǎn)，直線l：y=kx+1－k與拋物線交于點(diǎn)B、C兩點(diǎn)，直線BD垂直于直線y=－1,垂足為點(diǎn)D.當(dāng)k＝0時(shí)，直線l與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)在y軸上，且△ABC為等腰直角三角形.

①求點(diǎn)A的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

②證明：對(duì)于每個(gè)給定的實(shí)數(shù)k，都有A、D、C三點(diǎn)共線.

Answer 1

【答案】(1) y=a(x－2)2, c=4a;(2) ①頂點(diǎn)A(1,0)，y= x2－2x+1,②見解析.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線與x軸的公共點(diǎn)坐標(biāo)即為函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；

（2）①y＝kx＋1k＝k（x1）＋1過定點(diǎn)（1，1），且當(dāng)k＝0時(shí)，直線l變?yōu)?/span>y＝1平行x軸，與軸的交點(diǎn)為（0，1），即可求解；②計(jì)算直線AD表達(dá)式中的k值、直線AC表達(dá)式中的k值，兩個(gè)k值相等即可求解．

解：（1）拋物線與x軸的公共點(diǎn)坐標(biāo)即為函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，故：y＝a（x2）2，則c＝4a；

(2) y=kx+1－k= k(x－1)+1過定點(diǎn)(1,1),

且當(dāng)k＝0時(shí)，直線l變?yōu)?/span>y=1平行x軸,與y軸的交點(diǎn)為(0,1)

又△ABC為等腰直角三角形，∴點(diǎn)A為拋物線的頂點(diǎn)

①c=1，頂點(diǎn)A(1,0)

拋物線的解析式: y= x2－2x+1.

②

x2－(2+k)x+k＝0,

x＝(2+k±)

xD＝xB＝(2+k－), yD=－1；

則D

yC＝(2+k2+k,

C，A(1,0)

∴直線AD表達(dá)式中的k值為：k AD==，

直線AC表達(dá)式中的k值為：k AC=

∴k AD= k AC, 點(diǎn)A、C、D三點(diǎn)共線.