Question

2．如圖，點C、D在線段AB上，且△PCD是等邊三角形．
（1）當AC，CD，DB滿足怎樣的關系時，△ACP∽△PCB；
（2）當△ACP∽△PDB時，試求∠APB的度數．

Answer 1

分析 （1）根據等邊三角形的性質得到∠PCD=∠PDC=60°，PC=CD=PD，根據外角的性質得到∠ACP=∠PDB=120°，然后根據相似三角形的判定即可得到結論；
（2）根據相似三角形的性質得到∠APC=∠PBD，根據外角的性質得到∠DPB+∠DBP=60°，于是得到結論．

解答 解：（1）當CD²=AC•DB時，△ACP∽△PDB，
∵△PCD是等邊三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，PC=CD=PD，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
∵CD²=AC•DB，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{CD}$，即$\frac{PC}{BD}=\frac{AC}{PD}$，
∴△ACP∽△PDB；
（2）∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC=∠PBD，
∵∠PDB=120°，
∴∠DPB+∠DBP=60°，
∴∠APC+∠BPD=60°，
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．