Question

15．如圖，△ABC邊AB上點D、E（不與點A、B重合），滿足∠DCE=∠ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4；
（1）當CD⊥AB時，求線段BE的長；
（2）當△CDE是等腰三角形時，求線段AD的長；
（3）設AD=x，BE=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)∠ACB=90°，AC=3，BC=4，求得AB=5，sinA=$\frac{4}{5}$，tanB=$\frac{3}{4}$，再根據(jù)△ACD為直角三角形，求得AD，在Rt△CDE中，求得DE，最后根據(jù)BE=AB-AD-DE進行計算即可；
（2）當△CDE時等腰三角形時，可知∠CDE＞∠A＞∠B=∠DCE，∠CED＞∠B=∠DCE，進而得出∠CED=∠CDE，再根據(jù)∠B=∠DCE，∠CDE=∠BDC，得到∠BCD=∠CED=∠CDE=∠BDC，最后求得AD的長；
（3）先作CH⊥AB于H，Rt△ACH中，求得CH和AH的長，在Rt△CDH中，根據(jù)勾股定理得出：CD²=x²-$\frac{18}{5}$x+9，再判定△BDC∽△CDE，得出CD²=DE•DB，即x²-$\frac{18}{5}$x+9=（5-x-y）（5-x），最后求得y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．

解答 （1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，sinA=$\frac{4}{5}$，tanB=$\frac{3}{4}$，
如圖，當CD⊥AB時，△ACD為直角三角形，
∴CD=AC•sinA=$\frac{12}{5}$，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
又∵∠DCE=∠ABC，
∴在Rt△CDE中，DE=CD•tan∠DCE=$\frac{12}{5}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{5}$，
∴BE=AB-AD-DE=5-$\frac{9}{5}$-$\frac{9}{5}$=$\frac{7}{5}$；

（2）當△CDE時等腰三角形時，可知∠CDE＞∠A＞∠B=∠DCE，∠CED＞∠B=∠DCE，
∴唯有∠CED=∠CDE，
又∵∠B=∠DCE，∠CDE=∠BDC，
∴∠BCD=∠CED=∠CDE=∠BDC，
∴BD=BC=4，
∴AD=5-4=1；

（3）如圖所示，作CH⊥AB于H，
∵$\frac{1}{2}$×BC×AC=$\frac{1}{2}$AB×CH，
∴CH=$\frac{12}{5}$，
∴Rt△ACH中，AH=$\sqrt{A{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
∴在Rt△CDH中，CD²=CH²+DH²=（$\frac{12}{5}$）²+（$\frac{9}{5}$-x）²=x²-$\frac{18}{5}$x+9，
又∵∠CDE=∠BDC，∠DCE=∠B，
∴△BDC∽△CDE，
∴CD²=DE•DB，
即x²-$\frac{18}{5}$x+9=（5-x-y）（5-x），
解得$y=\frac{32x-80}{5x-25}$$（0＜x＜\frac{5}{2}）$．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角形的綜合應用，解決問題的關鍵是中輔助線構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理以及面積法進行求解．