Question

19．已知二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c的圖象經(jīng)過點A（-3，-6），并與x軸交于點B（-1，0）和點C，頂點為P．
（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點P的坐標；     
（2）設(shè)點D為線段OC上一點，且∠DPC=∠BAC，求點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）將A、B的坐標代入拋物線中，即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）過P作PM⊥x軸于M，AN⊥x軸于N，先求得P、C兩點坐標，然后通過證△BAC和△PCD來求出CD的長，即可得出D點的坐標．

解答 解：（1）已知拋物線過A（-3，-6），B（-1，0）則有：
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{9}{2}-3b+c=-6}\\{-\frac{1}{2}-b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$；
（2）易知：P（1，2），C（3，0），
過P作PM⊥x軸于M，AN⊥x軸于N，
則PM=2，
∵拋物線過C（3，0）和B（-1，0），
∴BC=4，CM=2=PM，
∴∠PCO=45°，
∵AN=CN=6，
∴∠ACB=45°，
∵∠DPC=∠BAC，∠PCO=∠ACB=45°，
∴△DPC∽△BAC，
∴$\frac{DC}{BC}$=$\frac{PC}{AC}$，∵AC=6 $\sqrt{2}$，PC=2 $\sqrt{2}$，BC=4
∴CD=$\frac{4}{3}$，OD=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴D（ $\frac{5}{3}$，0）．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考�？碱}型．