Question

（本題滿分12分）已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．

（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連結(jié)AP、OP、OA．

①求證：△OCP∽△PDA；

②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長；

（2）若圖1中的點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)，求∠OAB的度數(shù)；（提示：直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角為300）

（3）如圖2，，擦去折痕AO、線段OP，連結(jié)BP．動點(diǎn)M在線段AP上（點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合），動點(diǎn)N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結(jié)MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E．試問當(dāng)點(diǎn)M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度．

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）①由四邊形ABCD是矩形可得∠C=∠D=90°，根據(jù)互余可得∠APD=∠POC，所以△OCP∽△PDA，②根據(jù)△OCP∽△PDA可求出CP=4，BC=8，設(shè)OP=x，在Rt△PCO中，由勾股定理可得x=5，從而AB=AP=2OP=10；（2）因?yàn)椤螪=90°，=，所以根據(jù)性質(zhì)：直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角為300可得∠DAP=30°，又∠PAO=∠BAO，所以∠OAB=30°；（ 3）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，可證得△MFQ≌△NFB，所以QF=BF，然后可得EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，而PB==4，所以EF=PB=2．

試題解析：（1）如圖1，

①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．

由折疊可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B．

∴∠APO=90°．

∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．

∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．

∴△OCP∽△PDA．

②∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，

∴====．

∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．

∵AD=8，∴CP=4，BC=8．

設(shè)OP=x，則OB=x，CO=8﹣x．

在Rt△PCO中，

∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，

∴x2=（8﹣x）2+42．

解得：x=5．

∴AB=AP=2OP=10．

∴邊AB的長為10．

（2）如圖1，

∵P是CD邊的中點(diǎn)，

∴DP=DC．

∵DC=AB，AB=AP，

∴DP=AP．

∵∠D=90°，

∴=．

∴∠DAP=30°．

∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，

∴∠OAB=30°．

∴∠OAB的度數(shù)為30°．

（3）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖2．

∵AP=AB，MQ∥AN，

∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．

∴∠APB=∠MQP．

∴MP=MQ．

∵M(jìn)P=MQ，ME⊥PQ，

∴PE=EQ=PQ．

∵BN=PM，MP=MQ，

∴BN=QM．

∵M(jìn)Q∥AN，

∴∠QMF=∠BNF．

在△MFQ和△NFB中，

．

∴△MFQ≌△NFB．

∴QF=BF．

∴QF=QB．

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．

由（1）中的結(jié)論可得：

PC=4，BC=8，∠C=90°．

∴PB==4．

∴EF=PB=2．

∴在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，長度為2．

考點(diǎn)：1．矩形的性質(zhì)；2．相似三角形的判定與性質(zhì)；3．直角三角形的性質(zhì)；4．全等三角形的判定與性質(zhì)．