Question

已知拋物線拋物線y n=-（x-an）2+an（n為正整數(shù)，且0<a1<a2<…<an）與x軸的交點(diǎn)為An-1（bn-1,0）和An（bn，0），當(dāng)n=1時(shí)，第1條拋物線y1=-（x-a1）2+a1與x軸的交點(diǎn)為A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此類推．

（1）求a1,b1的值及拋物線y2的解析式；

（2）拋物線y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）；

依此類推第n條拋物線yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）;

所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系是 ；

（3）探究下列結(jié)論：

若用An-1An表示第n條拋物線被x軸截得得線段長(zhǎng)，直接寫出A0A1的值，并求出An-1An；

Answer 1

（1）a1=1，b1=2，y2=-（x-4）2+4．（2）y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（9，9）．yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（n2，n2）．y=x．（3）A0A1=2．An-1An=2n．

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A0（0，0）在拋物線y1=-（x-a1）2+a1上，可求得a1=1，則y1=-（x-1）2+1；令y1=0，求得A1（2，0），b1=2；再由點(diǎn)A1（2，0）在拋物線y2=-（x-a2）2+a2上，求得a2=4，y2=-（x-4）2+4．

（2）求得y1的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），y2的頂點(diǎn)坐標(biāo)（4，4），y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)（9，9），依此類推，yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（n2，n2）．因?yàn)樗�有拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y=x．

（3）①由A0（0，0），A1（2，0），求得A0A1=2；yn=-（x-n2）2+n2，令yn=0，求得An-1（n2-n，0），An（n2+n，0），所以An-1An=（n2+n）-（n2-n）=2n；

②設(shè)直線解析式為：y=kx-2k，設(shè)直線y=kx-2k與拋物線yn=-（x-n2）2+n2交于E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）兩點(diǎn)，聯(lián)立兩式得一元二次方程，得到x1+x2=2n2-k，x1•x2=n4-n2-2k．然后作輔助線，構(gòu)造直角三角形，求出EF2的表述式為：EF2=（k2+1）[4n2•（1-k）+k2+8k]，可見當(dāng)k=1時(shí)，EF2=18為定值．所以滿足條件的直線為：y=x-2．

試題解析：（1）∵當(dāng)n=1時(shí)，第1條拋物線y1=-（x-a1）2+a1與x軸的交點(diǎn)為A0（0，0），

∴0=-（0-a1）2+a1，解得a1=1或a1=0．

由已知a1＞0，∴a1=1，

∴y1=-（x-1）2+1．

令y1=0，即-（x-1）2+1=0，解得x=0或x=2，

∴A1（2，0），b1=2．

由題意，當(dāng)n=2時(shí)，第2條拋物線y2=-（x-a2）2+a2經(jīng)過點(diǎn)A1（2，0），

∴0=-（2-a2）2+a2，解得a2=1或a2=4，

∵a1=1，且已知a2＞a1，

∴a2=4，

∴y2=-（x-4）2+4．

∴a1=1，b1=2，y2=-（x-4）2+4．

（2）拋物線y2=-（x-4）2+4，令y2=0，即-（x-4）2+4=0，解得x=2或x=6．

∵A1（2，0），

∴A2（6，0）．

由題意，當(dāng)n=3時(shí)，第3條拋物線y3=-（x-a3）2+a3經(jīng)過點(diǎn)A2（6，0），

∴0=-（6-a3）2+a3，解得a3=4或a3=9．

∵a2=4，且已知a3＞a2，

∴a3=9，

∴y3=-（x-9）2+9．

∴y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（9，9）．

由y1的頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），y2的頂點(diǎn)坐標(biāo)（4，4），y3的頂點(diǎn)坐標(biāo)（9，9），

依此類推，yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（n2，n2）．

∵所有拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于縱坐標(biāo)，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是：y=x．

（3）∵A0（0，0），A1（2，0），

∴A0A1=2．

yn=-（x-n2）2+n2，令yn=0，即-（x-n2）2+n2=0，

解得x=n2+n或x=n2-n，

∴An-1（n2-n，0），An（n2+n，0），即An-1An=（n2+n）-（n2-n）=2n．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．