Question

在△ABC，∠BAC為銳角，AB>AC， AD平分∠BAC交BC于點D．

（1）如圖1，若△ABC是等腰直角三角形，直接寫出線段AC，CD，AB之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）BC的垂直平分線交AD延長線于點E，交BC于點F．

①如圖2，若∠ABE=60°，判斷AC，CE，AB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

②如圖3，若，求∠BAC的度數(shù)．

 

 

Answer 1

（1）AB=AC+CD; （2）①AB=AC+CE，證明見解析; ②60°．

【解析】

試題分析：（1）如圖,過D點作DH⊥AB于點H,則根據(jù)角平分線的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),得AB=AH+HB=AC+DH=AC+CD.

（2）①在線段AB上截取AH=AC，連接EH,證明△EHB是等邊三角形即可得出結(jié)論.

②在線段AB上截取AH=AC，連接EH，作EM⊥AB于點M,求得得∠EAB=30°,從而∠BAC=2∠EAB=60°．

試題解析：（1）AB=AC+CD.

（2）①AB=AC+CE，證明如下：

如圖,在線段AB上截取AH=AC，連接EH．

∵AD平分∠BAC，∴．

又∵AE=AE，∴△ACE≌△AHE．∴CE=HE．

∵EF垂直平分BC，∴CE=BE．

又∠ABE=60°，∴△EHB是等邊三角形．

∴BH=HE．∴AB=AH+HB=AC+CE．

②如圖,在線段AB上截取AH=AC，連接EH，作EM⊥AB于點M．

易證△ACE≌△AHE，∴CE=HE．∴△EHB是等腰三角形．∴HM=BM．

∴AC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+MB=2AM．

∵，∴．

在Rt△AEM中，，∴∠EAB=30°．

∴∠BAC=2∠EAB=60°．

考點：1．角平分線的性質(zhì);2.全等三角形的判定和性質(zhì);3.等腰直角三角形的性質(zhì);4．等邊三角形的判定和性質(zhì);5．銳角三角函數(shù)定義;6.特殊角的三角函數(shù)值.