Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)，連結(jié)DE、OE．

（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．

（2）求證：BC2＝2CDOE．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）連接OD，根據(jù)直角三角形中線性質(zhì)和圓周角定理可得∠ODE＝90°；（2）連接OE，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)證△ABC∽△BDC，BC2＝2CDOE．

（1）證明：連接OD，

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點(diǎn)，

∴CE＝DE＝BE＝ BC，

∴∠C＝∠CDE，

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ADO，

∵∠ABC＝90°，即∠C+∠A＝90°，

∴∠ADO+∠CDE＝90°，即∠ODE＝90°，

∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，

∴DE為圓O的切線；

（2）證明：連接OE，

∵E是BC的中點(diǎn)，O點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，

∴OE是△ABC的中位線，∴AC＝2OE

∵∠C＝∠C，∠ABC＝∠BDC＝90°，

∴△ABC∽△BDC，．

BC2＝2CDOE．；