Question

如圖是一個拋物線形拱橋的示意圖，橋的跨度AB為100米，支撐橋的是一些等距的立柱，相鄰立柱的水平距離為10米（不考慮立柱的粗細），其中距A點10米處的立柱FE的高度為3.6米．
（1）求正中間的立柱OC的高度；
（2）是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？請說明理由．

Answer 1

（1）根據(jù)題意可得中間立柱OC經(jīng)過AB的中點O．
如圖，以點O為原點，以AB所在的直線為x軸，建立直角坐標系．
問題轉(zhuǎn)化為求點C的縱坐標．
|OF|=40（米），故B（50，0），E（-40，3.6）
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+c
∴

502a+c=0 402a+c=3.6

解得：

a=- 1 250 c=10

∴y=-

1

250

x²+10，當x=0時，y=10
即正中間的立柱OC的高度是10（米）；

（2）設(shè)存在一根立柱的高度是OC的一半，即這根立柱的高度是5米．
則有5=-

1

250

x²+10．解得：x=±25

2

∵相鄰立柱之間的間距為10米．最中間的立柱OC在y軸上，
根據(jù)題意每根立柱上的點的橫坐標為10的整數(shù)倍，
∴x=±25

2

與題意不符，
∴不存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半．