Question

如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D，連接BC，BC與拋物線的對稱軸交于點E．
（1）求點B、點C的坐標和拋物線的對稱軸；
（2）求直線BC的函數(shù)關系式；
（3）點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F．設點P的橫坐標為m；用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？

Answer 1

（1）在y=-x²+2x+3中，當x=0時，y=3，
∴C（0，3），
當y=0時，-x²+2x+3=0，
得x₁=-1或x₂=3，
∴B（3，0），
拋物線的對稱軸是：x=-

b

2a

=1；

（2）設直線BC的函數(shù)關系式為：y=kx+b．
把B（3，0），C（0，3）分別代入得：

3k+b=0 b=3

，
解得：k=-1，b=3，
∴直線BC的函數(shù)關系式為：y=-x+3；

（3）在y=-x²+2x+3中，當x=1時，y=4，
∴D（1，4），
當x=1時，y=-1+3=2，
∴E（1，2）．
當x=m時，y=-m+3，
∴P（m，-m+3）．
當x=m時，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3），
∴線段DE=4-2=2，線段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
∵PF∥DE，
∴當PF=ED時，四邊形PEDF為平行四邊形，
由-m²+3m=2，解得：m₁=2，m₂=1（不合題意，舍去）．
則當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．