Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+3x+m的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（4，0），另一個(gè)交點(diǎn)為A，且與y軸相交于C點(diǎn)．

（1）求m的值及C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得它到B、C兩點(diǎn)的距離和最小，若存在，求出此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

（3）P為拋物線上一點(diǎn)，它關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為Q，當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）m=4，C（0，4）；（2）存在M（），見解析；（3）P（）或P（）.

【解析】

（1）用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

（2）先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后依據(jù)待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，然后再求得拋物線的對(duì)稱軸方程，由三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)點(diǎn)P、C、B在一條直線上時(shí)，PC+PB有最小值，最后將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入直線BC的解析式可求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；

（3）先判斷出四邊形PBQC時(shí)菱形時(shí)，點(diǎn)P是線段BC的垂直平分線，利用該特殊性建立方程求解．

解：（1）將B（4，0）代入y＝﹣x2+3x+m，

解得，m＝4，

二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2+3x+4，

令x＝0，得y＝4，

∴C（0，4）；

（2）存在，如圖所示

∵M(jìn)C+MB≥BC，

∴當(dāng)點(diǎn)M、C、B在一條直線上時(shí)，MC+MB有最小值．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+4．

∵將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：，解得k＝﹣1，b＝4，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，

∵拋物線的對(duì)稱軸為，

∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，

∵將代入直線BC的解析式得，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為；

（3）如圖，

∵點(diǎn)P在拋物線上，

∴設(shè)P（m，﹣m2+3m+4），

當(dāng)四邊形PBQC是菱形時(shí)，點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，

∵B（4，0），C（0，4）

∴線段BC的垂直平分線的解析式為y＝x，

∴m＝﹣m2+3m+4，

∴，

∴或．