Question

如圖，點(diǎn)D在⊙O直徑AB的延長線上，CD與⊙O相切于C，且AC=CD．
（1）求∠A的度數(shù)；
（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）首先連接OC，由CD與⊙O相切于C，可得OC⊥CD，設(shè)∠A=x°，又由等腰三角形的性質(zhì)與圓周角定理，即可得∠BOC=2x°，∠D=∠A=x°，繼而可得3x=90，繼而求得∠A的度數(shù)；
（2）由含30°角的直角三角形的性質(zhì)，可求得OD與CD的長，然后由S_陰影=S_△COD-S_扇形BOC，即可求得答案．

解答：解：（1）連接OC，
∵CD與⊙O相切于C，
∴OC⊥CD，
設(shè)∠A=x°，
∵AC=CD，
∴∠A=∠D=x°，
又∵∠COD=2x°，
∴∠D+∠COD=3x°=90°，
解得：x=30，
∴∠A=30°；

（2）由（1）得∠COD=60°，∠D=30°，
∴OD=2OC=4，
∴CD=

OD2-OC2

=2

3

，
∴S_陰影=S_△COD-S_扇形BOC=

1

2

×2×2

3

-

60π×22

360

=2

3

-

2

3

π．

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、扇形的面積以及含30°的直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．