Question

如圖，點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延長線上，點(diǎn)C在⊙O上，且AC=CD，AD=

3

CD
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）首先連接OC，BC，易證得△OAC∽△CAD，由AB是直徑，易求得cos∠A=

3

2

，sin∠ABC=

3

2

，繼而求得各角的度數(shù)，繼而證得CD是⊙O的切線；
（2）由⊙O的半徑為2，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，可求得CD的長，然后由S_陰影=S_△OCD-S_扇形BOC，求得答案．

解答：解：（1）連接OC，BC，
∵AC=CD，OA=OC，
∴∠A=∠D，∠A=∠OCA，
∴∠A=∠D=∠OCA，
∴△OAC∽△CAD，
∴AC：AD=OA：AC，
∵AD=

3

CD，
∴OA：OC=1：

3

，
∵AB=2OA，
∴

AC

AD

=

3

2

，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，且cos∠A=

3

2

，sin∠ABC=

3

2

，
∴∠A=∠ACO=∠D=30°，∠ABC=60°，
∵OC=OB，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠OCB=180°-∠D-∠BOC=90°，
即OC⊥CD，
∵C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線；

（2）∵⊙O的半徑為2，
∴OC=2，
在Rt△OCB中，∠D=30°，
∴CD=

OC

tan30°

=2

3

，
∴S_陰影=S_△OCD-S_扇形BOC=

1

2

×2×2

3

-

60

360

×π×2²=2

3

-

2

3

π．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、扇形面積以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．