Question

（2012•泉港區(qū)質(zhì)檢）如圖，點A在⊙O上，⊙O的直徑為8，∠B=30°，∠C=90°，AC=8．將△ABC從AC與⊙O相切于點A的位置開始，繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜120°），旋轉(zhuǎn)后AC，AB分別與⊙O交于點E，F(xiàn)，連接EF．當(dāng)BC與⊙O相切時，①旋轉(zhuǎn)角β=

90

度；②△AEF的面積為

8

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)切線的性質(zhì)，可以判斷當(dāng)BC與⊙O相切時切點一定是C旋轉(zhuǎn)以后的對應(yīng)點C′，AC′是圓的直徑，即可求得旋轉(zhuǎn)角，進而可以確定△AEF的位置，即可求解△AEF的面積．

解答：解：設(shè)旋轉(zhuǎn)以后BC與⊙O相切于點H，則連接OH，OA，則OH⊥BC，則OA=OH=4，AC=8，因而OA+OH=AC，
則H一定與C重合．
故當(dāng)BC與⊙O相切時切點一定是C旋轉(zhuǎn)以后的對應(yīng)點C′，AC′是圓的直徑．
E就是點C′，
∵AC是切線，
∴∠CAA′=90°，即β=90°．
在直角△AC′F中，∠FAC′=60°，則AF=

1

2

AC′=4，
FC′=

3

2

AC′=4

3

，
則△AFC′的面積即△AEF的面積等于：

1

2

AF•FC′=

1

2

×4×4

3

=8

3

．
故答案是：90，8

3

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)，以及解直角三角形，正確判斷當(dāng)BC與圓相切時，切點的位置是關(guān)鍵．