Question

20．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60^°，點B、C分別落在點B'、C'處，聯(lián)結(jié)BC'與AC邊交于點D，那么$\frac{BD}{DC'}$=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BC=$\frac{1}{2}$AB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的判定得到AB∥B′C′，根據(jù)平行線分線段成比例定理計算即可．

解答 解：∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠CAC′=60°，AB′=AB，B′C′=BC，∠C′=∠C=90°，
∴∠BAC′=90°，
∴AB∥B′C′，
∴$\frac{B′E}{EA}$=$\frac{CE}{EB}$=$\frac{B′C′}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{3}{2}$，
∵∠BAC=∠B′AC，
∴$\frac{BD}{DE}$=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{3}{2}$，又$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{DC'}$=$\frac{2}{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等、對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵．