Question

10．已知a、b均為有理數(shù)，且關于x的方程為$\frac{ax+ab}{96}$=$\frac{x-|b|}{12}$+1．
（1）當a=4，b=-$\frac{1}{2}$時，求x的值；
（2）若關于x的方程有無數(shù)個解．
①求a、b的值；
②設線段AB=a，CD=b，線段CD在直線AB上（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)），且M、N分別是線段AC、BD的中點，若BC=4，求MN的值．

Answer 1

分析 （1）把a=4，b=-$\frac{1}{2}$代入得到關于x的方程，解方程即可求得x；
（2）①由$\frac{ax+ab}{96}$=$\frac{x-|b|}{12}$+1可得（a-8）x=-8|b|-ab+96，根據(jù)關于x的方程有無數(shù)個解，可得a-8=0，-8|b|-ab+96=0，解方程即可求解；
②分三種情況：點C、D都在點A的左側(cè)，點C在點A的左側(cè)且點D在點A的右側(cè)時，線段CD在線段AB上時；點C在點B的左側(cè)，點D在點B的右側(cè)時；點C、D都在點B的右側(cè)時；進行討論可求MN的值．

解答 解：（1）當a=4，b=-$\frac{1}{2}$時，方程變?yōu)?\frac{4x-2}{96}$=$\frac{x-\frac{1}{2}}{12}$+1，
化簡，得$\frac{2x-1}{48}$=$\frac{2x-1}{24}$+1，
去分母，得2x-1=4x-2+48，
-2x=47，
x=-$\frac{47}{2}$；
（2）①去分母，得ax+ab=8x-8|b|+96，
（a-8）x=-8|b|-ab+96，
∵關于x的方程有無數(shù)個解，
∴a-8=0，-8|b|-ab+96=0，
解得a=8，
則-8|b|-8b+96=0，
當b≥0時，得-16b+96=0，
解得b=6，
當b＜0時，得8b-8b+96=0，無解．
綜上可知，a=8，b=6．
②依題意有AB=8，CD=6，
當點C、D都在點A的左側(cè)，點C在點A的左側(cè)且點D在點A的右側(cè)時，線段CD在線段AB上時，這三種情況均有BC＞CD，不合題意；
當點C在點B的左側(cè)，點D在點B的右側(cè)時，如圖所示：
，
有BC＜CD，符合題意；
∵BC=4，CD=6，
∴BD=2，
∵N是線段BD的中點，
∴BN=1，
∴CN=CB+BN=4+1=5，
∵AB=8，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴MN=CM+CN=2+5=7；
當點C、D都在點B的右側(cè)時，符合題意，如圖所示：
；
則AC=AB+BC=8+4=12，BD=BC+CD=4+6=10，
∵M、N分別是線段AC、BD的中點，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=6，BN=$\frac{1}{2}$BD=5，
∴MN=CM+BN-BC=6+5-4=7．
綜上所述，MN的值為7．

點評 此題考查了兩點間的距離，一元一次方程的解，在未畫圖類問題中，正確畫圖很重要．本題滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)了思維的嚴密性，在今后解決類似的問題時，要防止漏解．