Question

1．如圖，在△ABC中，AB=CB，以AB為直徑的⊙O交AC于點D．過點C作CF∥AB，在CF上取一點E，AE恰為⊙O的切線．
（1）試說明：△CBA∽△CDE；
（2）若AB=3，BD=2，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明△CBA∽△CDE，只要證明∠DCE=∠DEC=∠BAC=∠BCA即可．
（2）由△ABC∽△EDC，推出$\frac{BC}{CD}$=$\frac{AC}{EC}$，求出EC，在Rt△ACE中，根據AE=$\sqrt{A{C}^{2}-E{C}^{2}}$計算即可．

解答 證明：（1）∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，∵BA=BC，
∴AD=DC，∠BCA=∠BAC，
∵AE是切線，
∴AE⊥AB，
∵CF∥AB，
∴AE⊥EC，∠BAC=∠ACE，
∴∠AEC=90°，
∴DE=DC，
∴∠DCE=∠DEC=∠BAC=∠BCA，
∴△BAC∽△DEC．

（2）在Rt△ABD中，∵AB=3，BD=2，
∴AD=DC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AC=2$\sqrt{5}$，
∵△ABC∽△EDC，
∴$\frac{BC}{CD}$=$\frac{AC}{EC}$，
∴$\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{EC}$，
∴EC=$\frac{10}{3}$，
在Rt△ACE中，AE=$\sqrt{A{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-（\frac{10}{3}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質、平行線的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，屬于中考常考題型．